1から1億までの〜

ども、ロソきむ＠いちお理系です。
先日、otakeさんの日記で、こんな問題が紹介されてました。

問題：1から1億までの整数の中に出てくる、すべての数字の和を求めよ！

某TV番組で出された問題だったそうなのですが、ちゃんと答えを出せたので、解説を書いてみますね。











【解説】
まず、1から1億を考える前に、0〜99,999,999を考えます。
つまり、

00,000,000
00,000,001
・
・
・
99,999,999

こうやって見たときに、
1の位、10の位、〜、1000万の位で、
それぞれの桁に注目すると、どの桁でも
0, 1, 2, 〜, 9の数字が出てくる回数が同じ。
数字の並びが違うだけなんですよね。

ってことで、それぞれの位の数字の合計はどれも同じなので、
1の位の数字の合計を出せばOK

ここで、1の位の数字だけを足すと、

0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

なので、平均が4.5です。
これが、1億個あるので、

4.5×1億

0〜99,999,999は8桁あるので、

4.5×1億×8

1億は100,000,000なので、1

つまり、答えは、
4.5×1億×8＋1＝36億1

【おまけ】
同じように考えると、1から1兆の場合は、

4.5×1兆×12＋1＝54兆1

となります♪